计算机视觉
图像处理

图像的二维DFT及其反变换

在图像处理中,傅里叶变换应该是二维的,而且,是离散的,即:二维DFT。一个图像尺寸为的函数的离散傅里叶变换由以下等式给出:

 (1)

像在一维中的一样,此表达式对u值(u=0,1,2,…,M-1)和v值(v=0,1,2,..,N-1)计算。给出,可以通过傅里叶反变换来计算得到f(x,y),即:

   (2)

其中,x=0,1,…,M-1,y=0,1,…,N-1;上面两个式子共同构成了二位离散傅里叶变换对(DFT)。变量u和v是变换或频率变量,x和y是图像变量。

幅度(频率谱):

   (3)

相角:     (4)

功率谱(谱密度):

   (5)

其中,R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。

通常,在傅里叶变换之前用乘以输入图像函数,由于指数的性质,可以看出:

  (6)

其中表示一种傅里叶变换。这个等式说明,傅里叶变换的原点(F(0,0))被设置在u=M/2和N/2上。换句话说,用乘以f(x,y)将F)(u,v)原点变换到(M/2,N/2),它是二维离散傅里叶变换设置的区域的中心。我们将此频率域的范围指定为频率矩形,它从u=0到u=M-1,从v=0到v-N-1,其中,u和v都是整数,而且,为了确保移动后的坐标为整数,要求M和N都是偶数。

从(1)我们可以发现,(u,v)=(0,0)的变换值为:

   (7)

即f(x,y)的平均值,也就是说,如果f(x,y)是一幅图像,在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度值。因为在原点处常常为0,F(0,0)有时被称作频率谱的直流成分。

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