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PCA算法学习(PCA理论的matlab实现)

前言

在前面的博文PCA算法学习(OpenCV中PCA实现人脸降维)中已经初步介绍了PCA算法的大概流程及在人脸降维上面的应用。本文就进一步介绍下其理论基础和Matlab的实现(也是网上学者的代码)。

开发环境:Matlab2012a

 

基础

假设X是一个m*n的矩阵,是由样本数据构成的矩阵。其中m表示样本的属性维数,n表示样本的个数。现在要对X进行线性变换变成另一个矩阵Y,使得Y的协方差矩阵为对角矩阵,这样的Y就认为是对原始矩阵X提取主成分后的矩阵,实际过程中只需取Y的前面主要的行即可。

X变换到Y的线性变换公式为:

X和Y的协方差计算方法为:

从下面的公式可以看出Cy和Cx的关系为:

因为Cx是对称矩阵,对Cx进行特征值分解就可以将其变换成对角矩阵,见下面的公式推导:

公式中的P和E满足:

其中D是由Cx的特征向量构成的对角矩阵。P是线性变换矩阵,P的每一行都是Cx矩阵的特征向量,且P是正交矩阵,一般情况下把特征值大的特征向量排在矩阵前面几行。

由此可知,求出P后就可以求出X主成分矩阵了。

另外,还可以求出PCA的白化矩阵,PCA的白化矩阵就是特征向量去相关的矩阵,白化矩阵的协方差阵一般为单位矩阵,在PCA中可以这么 求:inv(sqrt(D))*E’。普通的PCA算法可以将输入矩阵X变成主成分矩阵Y,尽管Y的协方差矩阵是个对角矩阵,但不一定是单位矩阵,如果对 Y继续使用白化操作,则Y的协方差矩阵就变成了单位矩阵了。

 

源码

该pca函数接口形式为:

[Y,V,E,D] = pca(X)

其中X为输入数据,X的每一列是一个输入样本。返回值Y是对X进行PCA分析后的投影矩阵。V是与X有关的协方差矩阵特征向量的白化矩阵,E是 对应的特征向量(列)构成的矩阵,D是对应的特征值构成的对角矩阵(特征值处于对角线上)。返回值中的白化矩阵,特征向量和特征值都是按照对应特征值大小 进行排序后了的。

其matlab源码如下:

function [Y,V,E,D] = pca(X)

% do PCA on image patches
%
% INPUT variables:
% X                  matrix with image patches as columns
%
% OUTPUT variables:
% Y                  the project matrix of the input data X without whiting
% V                  whitening matrix
% E                  principal component transformation (orthogonal)
% D                  variances of the principal components

%去除直流成分
X = X-ones(size(X,1),1)*mean(X);

% Calculate the eigenvalues and eigenvectors of the new covariance matrix.
covarianceMatrix = X*X'/size(X,2); %求出其协方差矩阵
%E是特征向量构成,它的每一列是特征向量,D是特征值构成的对角矩阵
%这些特征值和特征向量都没有经过排序
[E, D] = eig(covarianceMatrix); 

% Sort the eigenvalues  and recompute matrices
% 因为sort函数是升序排列,而需要的是降序排列,所以先取负号,diag(a)是取出a的对角元素构成
% 一个列向量,这里的dummy是降序排列后的向量,order是其排列顺序
[dummy,order] = sort(diag(-D));
E = E(:,order);%将特征向量按照特征值大小进行降序排列,每一列是一个特征向量
Y = E'*X;
d = diag(D); %d是一个列向量
%dsqrtinv是列向量,特征值开根号后取倒,仍然是与特征值有关的列向量
%其实就是求开根号后的逆矩阵
dsqrtinv = real(d.^(-0.5)); 
Dsqrtinv = diag(dsqrtinv(order));%是一个对角矩阵,矩阵中的元素时按降序排列好了的特征值(经过取根号倒后)
D = diag(d(order));%D是一个对角矩阵,其对角元素由特征值从大到小构成
V = Dsqrtinv*E';%特征值矩阵乘以特征向量矩阵

转载注明来源:CV视觉网 » PCA算法学习(PCA理论的matlab实现)

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