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【3D】迭代最近点算法 Iterative Closest Points

基本原理

假定已给两个数据集P、Q, ,给出两个点集的空间变换f使他们能进行空间匹配。这里的问题是,f为一未知函数,而且两点集中的点数不一定相同。解决这个问题使用的最多的方法是迭代最近点法(Iterative Closest Points Algorithm)。

基本思想是:根据某种几何特性对数据进行匹配,并设这些匹配点为假想的对应点,然后根据这种对应关系求解运动参数。再利用这些运动参数对数据进行变换。并利用同一几何特征,确定新的对应关系,重复上述过程。

迭代最近点法目标函数

三维空间中两个3D点, ,他们的欧式距离表示为:
三维点云匹配问题的目的是找到P和Q变化的矩阵R和T,对于 ,利用最小二乘法求解最优解使:
最小时的R和T。

数据预处理

实验中采集了五个面的点如下所示:

由于第一组(第一排第1个)和第三组(第一排第三个)采集均为模型正面点云,所以选用一和三做后续的实验。

首先利用Geomagic Studio中删除点的工具,去除原始数据中的一些隔离的噪点,效果如下:

平行移动和旋转的分离

先对平移向量T进行初始的估算,具体方法是分别得到点集P和Q的中心:

 

分别将点集P和Q平移至中心点处:

则上述最优化目标函数可以转化为:

最优化问题分解为:

  1. 求使E最小的 
  2. 求使 

平移中心点的 具体代码为:

  1. //计算点云P的中心点mean
  2. void CalculateMeanPoint3D(vector<Point3D> &P, Point3D &mean)
  3. {
  4.     vector<Point3D>::iterator it;
  5.     mean.x = 0;
  6.     mean.y = 0;
  7.     mean.z = 0;
  8.     for(it=P.begin(); it!=P.end(); it++){
  9.         mean.x += it->x;
  10.         mean.y += it->y;
  11.         mean.z += it->z;
  12.     }
  13.     mean.x = mean.x/P.size();
  14.     mean.y = mean.y/P.size();
  15.     mean.z = mean.z/P.size();
  16. }

初始平移效果如下:

利用控制点求初始旋转矩阵

在确定对应关系时,所使用的几何特征是空间中位置最近的点。这里,我们甚至不需要两个点集中的所有点。可以指用从某一点集中选取一部分点,一般称这些点为控制点(Control Points)。这时,配准问题转化为:

这里,pi,qi为最近匹配点。
在Geomagic Studio中利用三个点就可以进行两个模型的“手动注册”(感觉这里翻译的不好,Registration,应该为“手动匹配”)。

我们将手动选择的三个点导出,作为实验初始的控制点:

对于第i对点,计算点对的矩阵 Ai:

 

 ,的转置矩阵。

(*这里在査老师的课上给了一个错误的矩阵变换公式)

对于每一对矩阵Ai,计算矩阵B:

  1. double B[16];
  2.         for(int i=0;i<16;i++)
  3.             B[i]=0;
  4.         for(itp=P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end();itp++,itq++ ){
  5.             double divpq[3]={itp->x,itp->y,itp->z};
  6.             double addpq[3]={itp->x,itp->y,itp->z};
  7.             double q[3]={itq->x,itq->y,itq->z};
  8.             MatrixDiv(divpq,q,3,1);
  9.             MatrixAdd(addpq,q,3,1);
  10.             double A[16];
  11.             for(int i=0;i<16;i++)
  12.                 A[i]=0;
  13.             for(int i=0;i<3;i++){
  14.                 A[i+1]=divpq[i];
  15.                 A[i*4+4]=divpq[i];
  16.                 A[i+13]=addpq[i];
  17.             }
  18.             double AT[16],AMul[16];
  19.             MatrixTran(A,AT,4,4);
  20.             MatrixMul(A,AT,AMul,4,4,4,4);
  21.             MatrixAdd(B,AMul,4,4);
  22.         }

原最优化问题可以转为求B的最小特征值和特征向量,具体代码:

  1. //使用奇异值分解计算B的特征值和特征向量
  2.         double eigen, qr[4];
  3.         MatrixEigen(B, &eigen, qr, 4);
  1. //计算n阶正定阵m的特征值分解:eigen为特征值,q为特征向量
  2. void MatrixEigen(double *m, double *eigen, double *q, int n)
  3. {
  4.     double *vec, *eig;
  5.     vec = new double[n*n];
  6.     eig = new double[n];
  7.     CvMat _m = cvMat(n, n, CV_64F, m);
  8.     CvMat _vec = cvMat(n, n, CV_64F, vec);
  9.     CvMat _eig = cvMat(n, 1, CV_64F, eig);
  10.     //使用OpenCV开源库中的矩阵操作求解矩阵特征值和特征向量
  11.     cvEigenVV(&_m, &_vec, &_eig);
  12.     *eigen = eig[0];
  13.     for(int i=0; i<n; i++)
  14.         q[i] = vec[i];
  15.     delete[] vec;
  16.     delete[] eig;
  17. }
  18. //计算旋转矩阵
  19. void CalculateRotation(double *q, double *R)
  20. {
  21.     R[0] = q[0]*q[0] + q[1]*q[1] – q[2]*q[2] – q[3]*q[3];
  22.     R[1] = 2.0 * (q[1]*q[2] – q[0]*q[3]);
  23.     R[2] = 2.0 * (q[1]*q[3] + q[0]*q[2]);
  24.     R[3] = 2.0 * (q[1]*q[2] + q[0]*q[3]);
  25.     R[4] = q[0]*q[0] – q[1]*q[1] + q[2]*q[2] – q[3]*q[3];
  26.     R[5] = 2.0 * (q[2]*q[3] – q[0]*q[1]);
  27.     R[6] = 2.0 * (q[1]*q[3] – q[0]*q[2]);
  28.     R[7] = 2.0 * (q[2]*q[3] + q[0]*q[1]);
  29.     R[8] = q[0]*q[0] – q[1]*q[1] – q[2]*q[2] + q[3]*q[3];
  30. }

平移矩阵计算

2.4中可以得到选择矩阵的4元数表示,由于在”平行移动和旋转的分离”中,我们将最优问题分解为:

  1. 求使E最小的 
  2. 求使 

因此还需要通过中心点计算平移矩阵。

  1. //通过特征向量计算旋转矩阵R1和平移矩阵T1
  2.         CalculateRotation(qr, R1);
  3.         double mean_Q[3]={_mean_Q.x,_mean_Q.y,_mean_Q.z};
  4.         double mean_P[3]={_mean_P.x,_mean_P.y,_mean_P.z};
  5.         double meanT[3]={0,0,0};
  6.         int nt=0;
  7.         for(itp=P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end();itp++,itq++ ){
  8.             double tmpP[3]={itp->x,itp->y,itp->z};
  9.             double tmpQ[3]={itq->x,itq->y,itq->z};
  10.             double tmpMul[3];
  11.             MatrixMul(R1, mean_P, tmpMul, 3, 3, 3, 1);
  12.             MatrixDiv(tmpQ,tmpMul,3,1);
  13.             MatrixAdd(meanT,tmpQ,3,1);
  14.             nt++;
  15.         }
  16.         for(int i=0; i<3; i++)
  17.             T1[i] = meanT[i]/(double)(nt);

一次旋转计算得到的矩阵如下:


效果在Geomagic Studio中显示如图:

迭代最近点

在初始匹配之后,所点集P`中所有点做平移变化,在比较点集合P`和Q`的匹配度,(或迭代次数)作为算法终止的条件。
具体为对点集P中每个点,找Q中离他最近的点作为对应点。在某一步利用前一步得到的,求使下述函数最小的

 

这里, 

  1. //计算误差和d
  2.         d = 0.0;
  3.         if(round==1){
  4.             FindClosestPointSet(data,P,Q);
  5.         }
  6.         int pcount=0;
  7.         for(itp = P.begin(),itq=Q.begin();itp!=P.end(); itp++, itq++){
  8.             double sum = (itp->x – itq->x)*(itp->x – itq->x) + (itp->y – itq->y)*(itp->y – itq->y)
  9.                 + (itp->z – itq->z)*(itp->z – itq->z);
  10.             d += sum;
  11.             pcount++;
  12.         }
  13.         d=d/(double)(pcount);

循环结束后能得到较好的匹配效果:

封装后的效果图:

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