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图像处理

图像处理中的数学原理详解18——内积与外积

1.3.2 内积外积

 

因 为cos(π/2)=0。当然,这也是众多教科书上介绍向量内积最开始时常常用到的一种定义方式。但必须明确,这种表示方式仅仅是一种非常狭隘的定义。如 果从这个定义出发来介绍向量内积,其实是本末倒置的。因为对于高维向量而言,夹角的意义是不明确的。例如,在三维坐标空间中,再引入一维时间坐标,形成一 个四维空间,那么时间向量与空间向量的夹角该如何解释呢?所以读者务必明确,首先应该是给出如本小节最开始时给出的内积定义,然后才能由此给出二维或三维 空间下的夹角定义。在此基础上,我们来证明余弦定律。

若根据a·b = |a||b|cosθ这个定义,因为0<=cosθ<=1, 显然柯西-施瓦茨不等式是成立的。但是这样的证明方式同样又犯了本末倒置的错误。柯西-施瓦茨不等式并没有限定向量的维度,换言之它对于任意维度的向量都 是成立的,这时夹角的定义是不明确的。正确的思路同样应该从本小节最开始的定义出发来证明柯西-施瓦茨不等式,因为存在这样一个不等式关系,然后我们才会 想到内积与向量模的乘积之间存在一个介于0和1之间的系数,然后我们才用cosθ来表述这个系数,于是才会得到a·b = |a||b|cosθ这个表达式。下面就来证明柯西-施瓦茨不等式。

证明:

与内积类似,向量a,b的外积也可以狭义地定义为

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