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图像处理中的数学原理详解10——理解泛函的概念

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2.4  从泛函到变分法

作为数学分析的一个分支,变分法(Calculus of Variations)在物理学、经济学以及信息技术等诸多领域都有着广泛而重要的应用。变分法是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的普遍方法。换句话说,求泛函极值的方法就称为是变分法。

2.4.1  理解泛函的概念

变分法是现代泛函分析理论的重要组成部分,但变分法却是先于泛函理论建立的。因此,即使我们不过深地涉及泛函分析之相关内容,亦可展开对于变分法的学习。而在前面介绍的有关抽象空间的内容基础之上来讨论泛函的概念将是非常方便的。

需要说明的是,此处我们所讨论的仅限于实数范围内的泛函。

如果把上述泛函定义中的线性赋范空间局限于函数空间的话,那么也可以从另外一个角度来理解此处我们所要讨论的泛函。

此 处所讨论的部分主要是古典变分法的内容。它所研究的主要问题可以归结为:在适当的函数类中选择一个函数使得类似于上述形式的积分取得最值。而解决这一问题 又归结为求解欧拉-拉格朗日方程。这看起来并非一个多么复杂的问题,而且方法也似乎也平常无奇。但依靠这种方法,我们惊异地发现原来自然世界中许多千差万 别的问题居然能够使用统一的数学程序来求解,而且奇妙的变分原理还可以用来解释无数的自然规律。在下一小节中,我们就将从最简泛函开始导出欧拉-拉格朗日 方程。

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