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图像处理中的数学原理详解8——傅立叶变换的来龙去脉

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千呼万唤始出来,我们前面已经做了很多很多的准备,终于可以揭开傅立叶变换的面纱了。当然,在阅读这篇文章之前,请务必保证你已经掌握了傅立叶级数的所有内容,可以参看

图像处理中的数学原理详解4 ——傅立叶级数的概念1

图像处理中的数学原理详解5 ——傅立叶级数的概念2

1.4.4  傅立叶变换的由来

 

这就是傅立叶变换及其反变换的表达式。一般情况下,若“傅立叶变换”一词前不加任何限定语,则指的是“连续傅立叶变换”(连续函数的傅立叶变换)。连续傅立叶变换将频率域的函数F(w) 表示为时间域的函数f(t)的积分形式。而其逆变换则是将时间域的函数f(t)表示为频率域的复指数函数F(w)的积分。一般可称函数f(t)为原函数, 而称函数F(w)为傅立叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对。

若 f(t)为偶函数,则F(w)将为纯实数,并且同为偶函数(利用这一点便可以得到所谓的余弦变换);如果f(t)为奇函数,则F(w)将为纯虚数,且同为 奇函数;而对任意f(t), F(w)与F(-w) 始终共轭,这意味着|F(w)| 与|F(-w)| 恒相等,即F(w)的绝对值是偶函数。

傅立叶变换针对的是非周期函数,或者说是周期为无穷大的函数。所以它是傅立叶级数的一个特例。当傅立叶级数的周期 趋 于无穷时,自然就变成了上面的傅立叶变换。这种关系从二者的表达式中大概能看出点端倪,但也不是特别明显,毕竟它们的表达形式差别仍然很大。如果不把傅立 叶级数表达成复数形式,那就更加难看出二者之间的联系了。傅立叶变换要求 f(t)在实数域 上绝对可积,其实可以理解成“傅立叶级数要求函数在一个周期内的积分必须收敛”。

傅 立叶变换是信号处理中的重要工具。在信号处理中, f(t)表示的一个信号在时域上的分布情况,而F(w) 则表示一个信号在频域(或变换域)上的分布情况。这是因为 F(w)的分布其实就代表了各角频率波分量的分布。由于 F(w)是复数,|F(w)| 的分布正比地体现了各个角频率波分量的振幅分布。F(w) 的辐角体现了各个角频率波分量的相位分布。平时所说的“频谱图”,其实指的就是|F(w)|的函数图像,它始终是偶函数(这个就是实数了,因为取的 是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)本身)。对于满足傅立叶变换条件的非周期函数,他们的频谱图一般都是连续的;而对于周期函数,他们的频谱则都是离散的点,只在整数倍角基频( π/ l) 的位置有非零的频谱点存在。根据频谱图可以很容易判断该原函数是周期函数还是非周期的(看频谱图是否连续就可以了),而且对于周期函数,可以从频谱图读出 周期大小(相邻的离散点之间的横轴间距就是角基频,这个角频率对应的周期就是原函数的周期)。关于傅立叶变换在信号处理中更加深入的应用读者有必要参阅相 关资料,此处我们的介绍旨在帮助读者搞清楚傅立叶变换的由来,并建立傅立叶变换与傅立叶级数之间的关系。

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